1 概念

1.1 基本不等式

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq ab \leq \frac{a + b}{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}$

基本不等式的英文叫做Inequality of Arithmetic and Geometric Means，简称 AM-GM Inequality，后文我称之为 AGI（可不是通用人工智能哦～），直译叫做“算数与几何平均数的不等式”，说明所谓基本不等式其实就是中间两项，左右两侧是额外添上去的。当然，左右两侧的“全量”版本也可以通过中间这个“核心”推导得出。（请自行思考如何代入恰当的 $a, b$ 得出左右两式）

1.2 关于均值

AGI 引出了四个均值，按照式从左到右的顺序，分别叫做：调和平均数(Harmonic Mean，简称 H)、几何平均数(Geometric Mean，简称 G)、算数平均数(Arithmetic Mean，简称 A)、平方平均数(Quadratic Mean，简称 Q)。

$n$ 阶调和平均数：

$\frac{n}{\sum _{i = 1}^{n} \frac{1}{x _{i}}} = \frac{n}{\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}}}$

但是……为什么是这个式子呢？为什么分子是 $n$ 不是 1 呢（受并联电阻算法影响，很容易忘记分子的 $n$ ）？让我们回到最简单的 2 阶开始。

$\overset{x}{ˉ} = \frac{2}{\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}}$

右面太复杂左边太简单，看起来很难受，不如变形一下，得到下式

$\frac{2}{x ˉ} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$

即

$\frac{1}{x ˉ} + \frac{1}{x ˉ} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$

咦？不难发现，在相同的形式下， $\overset{x}{ˉ}$ 替代了 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的位置。那 $n$ 阶是否也是如此呢？

显然，是的。经过验证，H,G,A,Q 四者均满足此规律。

于是我们发现了平均数的一个本质：在相同形式下，用同一个数取代每一个数，并保持结果相等，那么这“同一个数”就是“每一个数”的某种平均数。（当然，也有例外，比如对数平均数）

2 使用

2.1 口诀：一正二定三相等

我们来分别讨论三个部分。

一正：使用 AGI 要保证 $a, b$ 均为正

这是 AGI 的使用条件，只要满足这个条件那么 AGI 就是正确的。（当然，可能由于定义域问题，不等号不能取等，即扩大范围，这是“三相等”要讨论的问题）

二定：某一个均值是定值

这其实是为了做题而给出的经验。其实如上文所说，只要满足一正，AGI 就成立。但如果不是定值，似乎不等式也没有什么意义……吗？

这件事有些复杂，我会在后文详细阐述。

三相等：检验取等条件

所谓取等，指的是 $a \leq b$ 中 $a = b$ 的情况；所谓取等条件，就是取等时需要满足的条件。这有什么意义呢？我们先从简单的不等式说起。

对于不等式 $x^{2} \geq 0$ ，取等条件显然是 $x = 0$ ，所以是否能够取等就取决于是否满足 $x = 0$ 。如果 $x$ 的范围是 $x > - 1$ ，那么最小值显然可以取到 0；但如果 $x$ 的范围是 $x > 1$ ，那么最小值显然不是 0。

同理，AGI 中之所以要检验取等条件，实际上是在检验自变量是否可以取到取等所需条件，否则如果盲目认为最值在取等时取到，就会在特殊情况下导致错误。

2.2 多次使用 AGI

如果你已经明白了上述二定的不必要性，就很容易理解这个困扰人的多次 AGI。

多次 AGI 中的前几次通常都是不满足“二定”的，但是每次使用都会产生一个取等条件。只要满足这个取等条件，就可以保证在这一次 AGI 的使用中，没有扩大或缩小范围。所以老师会说，多次 AGI 只要满足所有取等条件同时成立就行了。

但，当我运用一次 AGI 得到一个新的表达式，这个式子与原来的式子是什么关系呢？以二元表达式为例，如果我们在空间直角坐标系中画出图像 $z = f (x, y)$ （表示对于每一对 $x$ 和 $y$ 都有一个唯一的 $z$ 与之对应，这和初中学过的函数差不多，只不过多了一个自变量），那么会得到一个曲面。这个曲面如果有最高点或最低点，那它就是我们想求得的最值。但是由于原始表达式的形式通常不好处理，我们要通过 AGI 这样的技术手段使之容易处理。那么无论做什么处理和操作，我们要保证的只有一件事：确保最大值或最小值不变。所以，运用一次 AGI，如果得到的是一个表达式，记为 $z = g (x, y)$ ，那么 $f$ 和 $g$ 的图像一定是不同的，而我们真正关注的相同点是它们取得最值的点（可能不止一个）坐标相同。

实际上，在多次使用 AGI 的时候，每一次的取等条件，都是在确保这一次使用没有改变最值的点的坐标。因此，无论我们使用多少次 AGI，在取等条件同时满足的 $x, y$ 对应的位置，这个取最值的点坐标永远不变，自然求出的最值也就不变。更多变量也是同理。

2.3 论“二定”的不必要性

取等条件只是关联应用 AGI 前后的两个式子的桥梁，并没有从根本上规定使用 AGI 后的式子一定是常数。只不过满足“二定”的情况会产生常数，能直接得出最大或最小值。于是新的问题产生了：是否可以通过不满足“二定”的 AGI 将式子转化后用其他方法求最小值呢？

我们来看这样一个例子：

$f (x) = x^{5} + \frac{1}{x}, x \geq 0$

求这个函数的最小值。

我先给出一种观点： $f (x) = x^{5} + \frac{1}{x} \geq 2 x^{5} \cdot \frac{1}{x} = 2 x^{2} \geq 0$ ，因此 $f (x)$ 的最小值为 0。于是有一种反驳出现了：这个方法没有取到取等条件，根据取等条件 $x = 1$ ，最小值应该是 $f (1) = 2$ 。

可惜的是，这两个都不是正确答案，因为 $f (x)$ 显然没有零点且 $f (0.7) \approx 1.60 < 2$ 。这是为什么呢？

我们直接来看 $f (x) = x^{5} + \frac{1}{x}$ 和 $g (x) = 2 x^{2}$ 的图像。

不难发现，其实 AGI 没有错，取等条件也没有错： $f (x) \geq g (x)$ 确实成立，且确实在 $x = 1$ 的地方取等。那哪里错了呢？

原来，不满足“二定”的 AGI 本身是完全正确的，但不一定能取到最值，而有可能像上面这个例子一样取到相切的点。而真正保证取到最值的还是最后一次使用 AGI 时的“二定”，因为定值的图像是水平直线，与任何函数在取等条件上一定能取到最值。

我们再换一个角度来理解：上面这个例子中之所以无法直接计算，是因为 $x^{2} \geq 0$ 的取等条件是 $x = 0$ ，和 AGI 的取等条件 $x = 1$ 不同，所以无法计算。

我们来总结一下 AGI 与普通不等式没有本质区别，它们都有大小关系，也都有取等条件，且本质上都不存在“二定”这个约束条件。只不过在求最值这个特定问题上，我们为了保证最后能够得到一个常数，才要求所谓“二定”。实际上，只要保证取等条件相同且最后是常数，AGI 完全可以与其他不等式（类似于某种意义的放缩）混合使用，或许这可以是一个新的出题方向吧。

3 检验

如果你真的看懂了上面的内容，来完成我出的这道例题吧~

$f (x) = x + \frac{∣ ln x ∣ + 1}{x}$

求此函数的最小值。

什么？你算出来了？是只用了一次 AGI 吗？记得检验取等条件了吗？如果答案都是肯定的，那么我相信你已恍然大悟~